ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

“Los números gobiernan el universo” (Pitágoras)

“El Uno engendra el Dos. El Dos engendra al Tres. El Tres engendra los diez mil seres” (Lao-Tse)

“La aritmética es la gramática de los números” (Witgenstein)

“El número se encuentra en otro espacio, no en este espacio” (George Spencer−Brown)

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Adición
Semántica y Sintaxis

La suma de dos expresiones, especificada mediante

x+y // se lee “x más y”

es la siguiente:

• Si x e y son iguales, el resultado se simboliza por 2*x, en donde 2 representa un factor multiplicador.
  
  
• Si x e y son diferentes, el resultado es la misma expresión, es decir, la expresión se autoevalúa.

En general, el resultado de la expresión (r1*x + r2*y), en donde r1 y r2 son números reales, es el siguiente:

• Si x e y son iguales, el resultado es (r1+r2)*x, en donde r1+r2 indica la suma aritmética tradicional.
  
  
• Si las expresiones son diferentes, el resultado es la misma expresión (la expresión se autoevalúa).

Cuando en la expresión general (r1*x + r2*y), x e y son iguales a 1, entonces tenemos la suma aritmética tradicional: r1+r2.


Justificación

La primitiva Suma es la operación aritmética clásica, pero generalizada para expresiones cualesquiera.


Ejemplos

1. abc+abc // ev. 2*abc
   
   
2. (2*x + y) // ev. 2*x+y
   
   
3. (2*x + 3*x) // ev. 5*x
   
   
4. (x/a + x/a) // ev. 2*(x/a)
   
   
5. (manzana + 3*manzana) // ev. 4*manzana
   
   
6. (a b)+(a b) // ev. 2*(a b)
   
   
7. ({a b c} + 4*{a b c}) // ev. 5*{a b c}
   
   
8. ⟨(x y)⟩+⟨(x y)⟩ // ev. 2*⟨(x y)⟩
   
   
9. (x + y + x) // ev. (2*x + y)
   
   
10. (13 + 27) // ev. 40

Observaciones

• La expresión n*x representa a x+…+x (n sumandos). Por ejemplo,
  
  (3*x =: x+x+x)
  
  
• La forma r*x permite especificar formalmente cantidades de objetos y magnitudes físicas. Por ejemplo,
  
  23*manzana 18*Kgr 42*metro

Axiomas

1. ⟨( x+y ≡ y+x )⟩ // conmutatividad
   
   
2. ⟨( x+(y+z) ≡ (x+y)+z )⟩ // asociatividad
   
   Por defecto, la asociatividad es a la izquierda, al evaluarse las expresiones de izquierda a derecha: ⟨ ( x+y+z ≡ (x+y)+z )⟩
   
   
3. ⟨( r*x ≡ x*r )⟩ Las formas x*r y r*x, por definición, son equivalentes: (2*x + x*3) // ev. 5*x
   
   
4. ⟨( x*r = r*x )⟩
   
   Toda expresión de la forma x*r, donde x no es un número, se sustituye por r*x, con el factor numérico delante.
   
   
5. ⟨( (r1+r2)*x =: (r1*x + r2*x) )⟩ // por la definición de suma

⟨( (r1*x + r2*x) = (r1+r2)*x )⟩ // por la definición de suma
   
   
6. ⟨( r*(x+y) =: (r*x + r*y) )⟩ // distribución

⟨( (r*x + r*y) = r*(x+y) )⟩ // distribución
   
   
7. ⟨( x+θ = x )⟩ // expresión nula
   
   
8. ⟨(x ≡ 1*x)⟩ y ⟨(1*x = x)⟩
   Por defecto, el atributo multiplicador de una expresión es 1.
   
   
9. ⟨( 0*x = 0 )⟩ // una expresión con atributo multiplicador cero, es cero
   
   Por lo tanto, también: (0*0 = 0) (0*α = 0) (0*θ = 0) (0*Ω = 0)
   
   
10. ⟨( r1*(r2*x) ≡ (r1*r2)*x )⟩ // asociatividad en el factor multiplicador
    
    Por defecto, la asociatividad es a la izquierda, al evaluarse las expresiones de izquierda a derecha: ⟨( r1*r2*x ≡ (r1*r2)*x )⟩

Teoremas

1. ⟨((x+y)^2 = (x*x + 2*x*y + y*y))⟩
   
   Por los axiomas de distribución y conmutatividad (binomio de Newton).
   Este teorema se generaliza a cualquier exponente entero positivo.

Sustracción
Sintaxis

(x +' y) ó (x – y) // x menos y


Definición

⟨((x−y = z) ↔ (x = z+y))⟩


Observaciones

• Como la suma es conmutativa, el operador contrario a la izquierda es igual al operador contrario a la derecha.
  
  
• De la definición se deduce que restar dos expresiones, cada una con su correspondiente atributo multiplicador, es:
  
  Si las expresiones sólo difieren en el atributo multiplicador, el resultado es la misma expresión con atributo multiplicador igual a la resta tradicional.
  
  Si las expresiones son diferentes, el resultado es la misma expresión.

Ejemplos

1. (5*x − x*3) // ev. 2*x
   
   
2. x−y // se autoevalúa
   
   
3. (2*x − y) // se autoevalúa
   
   
4. (2*x − 5*x) // ev. (−3)*x ev. −3*x

Axiomas

1. ⟨( (x+y)−x = y )⟩
   
   
2. ⟨( (x+y)−y = x )⟩
   
   
3. ⟨( x−0 = x )⟩
   
   
4. ⟨( x−θ = x )⟩
   
   
5. ⟨( (r1*x – r2*x) = (r1−r2)*x )⟩ // por la definición de resta

⟨( (r1−r2)*x =: (r1*x – r2*x) )⟩ // por la definición de resta
   
   
6. ⟨( r*(x−y) =: (r*x − r*y) )⟩

⟨( (r*x − r*y) = r*(x−y) )⟩

Teoremas

1. ⟨( x−x = 0 )⟩
   
   Demostración: x−x  eq.  (1*x − 1*x)  eq.  (1−1)*x  ev.  0*x  ev.  0

Signo de una Expresión
Por definición, el signo de una expresión es el signo (+ ó −) del valor numérico de su atributo multiplicador, de acuerdo con los siguientes


Axiomas

1. ⟨( (+r)*x ≡ +(r*x) ≡ r*x )⟩
   
   
2. ⟨( (−r)*x ≡ −(r*x) ≡ −r*x )⟩
   
   
3. ⟨( 0−x = −x )⟩
   
   
4. ⟨( θ−x = −x )⟩
   
   
5. ⟨( −(−r)*x) = r*x )⟩
   
   
6. ⟨( −(x+y) = −x−y )⟩
   
   
7. ⟨( x+(+y) = x+y )⟩
   
   
8. ⟨( x+(−y) = x−y )⟩
   
   
9. ⟨( x−(+y) = x−y )⟩
   
   
10. ⟨( x−(−y) = x+y )⟩

Ejemplos

1. (−3)*x // ev. −3*x
   
   
2. (+3)*x // ev. 3*x
   
   
3. +x // ev. x